The Fibonacci Sequence
Clarinete
Brahms | Mendelssohn |
Baermann | Glinka | Milhaud
Um par de coelhos foi colocado em um pátio cercado por muros. Supondo que a cada mês, a partir do segundo mês de vida, cada casal de coelhos gera um novo casal de coelhos, quantos casais de coelhos povoarão o pátio ao fim de um ano?
Este problema aparece no capítulo 12 do Liber abaci, o livro escrito por Fibonacci em Pisa, após seu retorno da Argélia, onde viveu por um período e aprendeu o sistema numérico Hindu-Arábico entre muitas outras coisas que explica no livro.
O problema certamente era conhecido antes de Fibonacci colocá-lo no livro e faz parte de uma tradição entre os matemáticos que remonta aos tempos do Egito dos antigos faraós e dos povos mesopotâmicos – assírios, babilônios, que consiste em ensinar matemática através de bons e mesmo de rotineiros problemas. E o problema dos coelhos, enunciado por Fibonacci, é ótimo.
É claro, os detratores dos matemáticos vão logo atacar com comentários do tipo – o par de coelhos era formado por dois machos e nunca se reproduziram. Poderão reclamar dizendo que as condições como ‘nasce um par a cada mês’ e tal, sempre um macho e uma fêmea são inverossímeis. E eventuais problemas genéticos? Houve até uma ameaça de formação de um comitê que clamava – liberdade para os coelhos de Fibonacci…
Ora, os matemáticos nem ouvirão tais críticas e provocações, pois sabem que a historiazinha por trás do problema é apenas para torná-lo bonitinho. Se você realmente quer resolver o problema, concentre-se em entender as condições descritas e coloque a caraminhola para funcionar. Envolver-se com um problema, embebedar-se da vontade de resolvê-lo, mesmo que disponha de poucas ferramentas e que o problema pareça, à priori, inexpugnável, é a tarefa dos matemáticos. Esse élan, essa disposição é o que motiva os matemáticos e é o que impulsiona os avanços na Matemática. A curiosidade, dizem, matou o gato, mas no caso da Matemática, é o que lhe dá a vida. Ninguém é mais feliz do que um matemático realmente engajado na busca da solução de algum problema, mesmo que ele ou ela não admita.
A passagem dos meses serve para indicar os novos passos no desenvolvimento do processo descrito. Ao fim de cada mês, cada casal de coelhos amadurecido dará à luz a um novo casal. Assim, o problema será o de contar, ao fim de cada mês, quantos casais de coelhos povoam o pátio, levando em conta as condições do mês anterior. Pode-se agir como quiser, fazendo anotações, desenhando diagramas ou criando uma fórmula que esclareça a situação, levando em conta todas as hipóteses do enunciado.
Veja que diagramas e fórmulas são típicos objetos matemáticos, mas que demoraram séculos ou mesmo milênios para serem desenvolvidos e incorporados ao uso comum das pessoas. Mesmo o uso de um sistema numérico que emprestou agilidade e precisão aos cálculos só foi introduzido na cultura ocidental no século XIII e sofreu alguma resistência. Mas, chega de delongas e vamos ao problema.
Temos então as condições estabelecidas no problema: ao fim de cada mês, cada casal amadurecido dará à luz a um novo casal, que amadurecera ao fim do seu segundo mês de vida.
Portanto, começamos com um casal que amadurece ao fim do primeiro mês e dá à luz a um novo casal ao final do segundo mês. No fim do terceiro mês, o primeiro casal dá à luz a um novo casal e o segundo casal atinge a maturidade. Temos assim 1, 1, 2 e 3. Para o próximo mês, nascerão mais dois casais, pois um mês antes tínhamos dois casais de coelhos adultos e o terceiro casal chega à idade adulta. Resulta então em 3+2 = 5 casais de coelhos, dos quais 3 na idade adulta. Já dá para perceber o que acontecerá no fim do próximo mês: 5 + 3 = 8 casais, dos quais, 5 em idade adulta.
Esta sequência de números, criada a partir das condições estabelecidas no problema é chamada de Sequência de Fibonacci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
Cada novo termo da sequência é o resultado da soma dos dois termos anteriores. Em matematiquês:
F(n+1) = F(n)+F(n-1) e F(1) = 1, F(2) = 1.
Há uma verdadeira enxurrada de informações sobre a Sequência de Fibonacci e suas manifestações na natureza. Assim, não vamos entrar nesta parte, mas se você teve sua curiosidade despertada, basta deixar o seu lado matemático revelar-se mais um pouco. E aí, quantos pares de coelhos no fim do ano?
Ah, a música! Algumas palavras sobre o programa do disco que tem um clarinete como destaque. Funcionando um pouco como âncora neste programa, temos o Trio com Clarinete de Brahms, que abre os trabalhos de maneira ótima. Em seguida uma peça de Mendelssohn, Konzertstück, uma peça de concerto. Esta composição é fruto da amizade entre o jovem Mendelssohn, Heinrich Baermann, o melhor clarinetista daquela época, e seu filho Carl. Eles se conheceram em Berlim em 1832 e as habilidades do instrumentista inspiraram o compositor, a maneira que ocorrera antes com Mozart e Stadler, assim como Brahms e Mühfeld. Após a peça de Mendelssohn, vem um adagio para clarinete e quinteto de cordas escrito pelo próprio Heinrich Baermann, que também tinha alguma habilidade como compositor.
Prosseguindo, no programa, temos um Trio com Clarinete escrito por Mikhail Glinka, que era russo e compositor nacionalista. Ficou famoso por suas óperas ‘A Vida pelo Czar’ e ‘Russlan e Ludmila’. Esta peça foi escrita quando Glinka estava na Itália, morrendo de saudades de casa e pela inscrição deixada na peça: ‘Eu só tenho conhecido o amor pelas misérias que ele causa’, curtindo uma decepção amorosa.
Completando o disco, à francesa, uma suíte de Milhaud, escrita sob inspiração da música de Michel Corrette. A música foi escrita inicialmente para uma produção em francês de Romeu e Julieta, de Shakespeare.
Johannes Brahms (1833 – 1897)
Trio para clarinete, violoncelo e piano em lá menor, Op. 114
- Allegro
- Adagio
- Andante grazioso
- Allegro (ii)
Felix Mendelssohn (1809 – 1847)
Peça de Concerto No. 2 em ré menor, para clarinete, corno de basseto e piano, Op. 114
- Presto
- Andante
- Allegro grazioso
Heinrich Baermann (1784 – 1847)
Adagio em ré bemol maior para clarinete, dois violinos, viola, violoncelo e contrabaixo
- Adagio
Mikhail Glinka (1804 – 1857)
Trio Pathétique, para clarinete, fagote e piano
- Allegro moderato
- Scherzo: vivacissimo
- Largo
- Allegro con spirito
Darius Milhaud (1892 – 1976)
Suite d’après Corrette, para oboé, clarinete e fagote
- Entrée et Rondeau
- Tambourin
- Musette
- Sérénade
- Fanfare
- Rondeau
- Menuets
- Le Coucou
The Fibonacci Sequence
Kenneth Sillitoe, violino
Helen Paterson, violino
Louise Williams, viola
Benjamin Hughes, violoncelo
Stephen Williams, contrabaixo
Christopher O’Neal, oboé
Nicholas Bucknall, corno de basseto
Richard Skinner, fagote
Kathron Sturrock, piano
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Em nossa próxima postagem falaremos do Número de Ouro!
Aproveite
René Denon
Escrever sobre um artista tão universalmente amado como Leon Fleisher, que deixou nossa mascarada distopia no último 2 de agosto, sempre parecerá supérfluo. Suas credenciais para a fama são óbvias a todos os que o puderam conhecer, e seu imenso legado fala por si só. Ademais, o colega René Denon já lhe fez aqui uma 
Concerto para piano e orquestra no. 1 em Ré menor, Op. 15
Variações e fuga para piano sobre um tema de Händel, Op. 24
Concerto para piano e orquestra no. 2 em Si bemol maior, Op. 83
Volta e meia o resmelengo Ludwig abria uma janela em suas preocupações habituais mais prementes para impressionar-se com alguém. Na maior parte das vezes, esse alguém trajava vestidos e anáguas, pertencia à aristocracia, e estava do outro lado de um abismo amoroso intransponível para um homem de modestas origens. Noutras, Beethoven impressionava-se com algum músico que lhe instigava a produção febrilmente rápida de alguma obra para seu instrumento – como foi com os irmãos Dupont, que inspiraram as faceiras sonatas para violoncelo do Op. 5, e com o boêmio Jan Václav Stich (1746-1803), virtuose da trompa, mais conhecido pela versão italiana de seu nome, Giovanni Punto (sim: “Stich”=”ponto”. Ponto para Stich, pela marotice – e outro para mim, pelo trocadilho).
